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用面积证明勾股定理的方式

来源:未知 时间:2019-09-07 13:17


三角形、矩形等的面积概念和公式运用范围极其广泛.那么面积在中学数学中到底起到多大的作用?不少人可能认为:面积不过是一个概念,其公式只是用来计算出图形的面积;还有人可能认为:面积可以作为一种技巧解决一些问题,不过用其他的方法也能解决,况且用其他方法解题有时也非常简洁.因此面积可以说是一个孤立的概念,对其他内容来说可有可无.针对这种现象本人提出,面积问题的本质是:面积在几何中起着一定程度的奠基作用,面积方法是重要的方法.
下面以勾股定理的证明为着眼点来说明.
一、面积证明勾股定理有其必然性
1.从面积测量到勾股定理的发现
几何的起源来源于农业的生产实际.面积问题是土地丈量的重要内容.没有面积的正确处理就无法体现数学的发展和农业生产需要.在这些早期几何研究中发现了勾股定理,当时面积是几何研究的重要内容. 面积贴合法 是希腊数学中的一种重要方法,也是毕达哥拉斯学派的重大发明之一.后来几何学家阿波罗尼奥斯在圆锥曲线方面的研究成果中,他的抛物线、椭圆和双曲线三个词均来源于面积贴合法,在古代印度的宗教典籍《测绳的法规》中就有许多关于面积变换的问题.[1]中国数学中所谓 出入相补原理 不仅是面积变换问题的一个出发点,而且也是中国古代几何学的一条基本原理.[2]那么用面积的方法证明勾股定理成为历史的需要和数学的必然.这个定理被称为 几何学中的明珠 .勾股定理在埃及、希腊、中国、印度等国在数学发展早期被发现,对于几何发展是一个标志性事件;千百年来,人们对它的证明,趋之若鹜.1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑中总共提到367种证明方式[3],证明方法现在肯定更多;这是任何定理无法比拟的.
2.勾股定理证明用什么方法
证明勾股定理主要有:(1)面积方法(主要有《几何原本》(公元前3世纪)[4]中的证明方法,赵爽 弦图 证法,1876年美国加菲尔德总统证法,它们一般通过拼割图形然后用面积来证明的,图形不同的分割可以巧妙地实现面积变换);(2)相似的方法(主要是利用直角三角形的射影定理及圆的切割线等证明方法).
比较简洁的是赵爽 弦图 的面积证法,一般课本均采用这类证法.


首先把正方形分割成四个全等的直角三角形,中间围成一个小的正方形,

说明 这里图形的拼割是巧妙的,用的方法是面积法,该图还被在北京召开的第24届国际数学家大会选为大会会徽.
有人利用相似证明勾股定理,比较典型的是用射影定理来证明.


也许有人说:相似的方法不是面积的方法,以此说明证明勾股定理可以与面积无关.
事实上相似内容也和面积联系在一起.相似的基本定理是平行线分线段成比例定理,早在两千多年前的《几何原本》中已经给出了详细而简洁的用面积方法的证明.[4]
例3 已知:如图,△ABC中,线段DE//BC,请判断,并说明理由.


所以可以说:相似问题可以转化为面积问题,面积是相似的上位概念.
因此可以这么说,证明勾股定理的方法归根到底和面积问题必然的联系在一起.
那么如何理解勾股定理证明和面积存在的必然联系?
其实这很简单,从数学的量纲上来看:首先面积是数学上最早的二维量纲,而之后发现的勾股定理也是二维量纲,因此证明勾股定理得用上位概念来证明,此时非面积莫属.
二、初等数学多个分支均离不开面积
1.三角函数的基本定理都可以通过面积的方法解决
由于三角函数和直角三角形密不可分,而面积是勾股定理的上位概念,因此我们可以推断面积还是三角函数的上位概念,锐角三角函数最基本最常用的公式都可以用面积法进行证明.
2.通过面积问题探究二次曲线
面积问题与二次曲线联系密切.最特殊的是反比例函数y=(k 0)上任意一点到坐标轴的距离之积是一个常数,也就是说垂线和坐标轴围成的矩形面积不变,反之亦然;充分体现了反比例函数的不变性是矩形面积不变.其他二次曲线的产生也可以和面积联系起来.
此外,用面积的方法还能证明不等式的基本公式、正弦定理、三角形内外角平分线定理等等,甚至连微积分的起源中都有面积的影子.可以这么说:在初等数学中,在很大程度上面积问题几乎奠基了几何问题的各个分支,它和三角形全等结合起来就可以引申出几何的全部.面积问题是数学中王牌主力军,加强对面积问题的研究有助于对数学本质的理解.
三、面积方法解题往往起到简单快捷的作用
面积问题不仅在数学上起到如此巨大的作用,而且面积本身也是重要的解题方法.
由于面积问题是大家都熟悉的,用面积的方法易于接受.同时在许多问题中用面积的方法非常简洁,是其他方法无法比拟的.
例4 如图4,等边三角形内任意一点D,过点D作垂线段DE、DF、DG,求证DE+DF+DG=一边上的高.

这个问题用面积方法比用其他方法证明要简洁很多(证明过程略).
例5 如图5,边长为2正方形ABCD中,点E、F分别是两边中点,求ABGD的面积.

本题可以过点G作BC边上的垂线GH,然后两次利用相似求出GH的长,进而求出△BEG的面积,然后解决问题.
本题还可以通过建立直角坐标系求出直线BF、DE的函数式,然后求出点G的交点坐标,进而解决问题.
本题还有更加简洁的方法,就是通过等底等高的三角形面积相等的方法,也就是面积法来解决问题.
过程如下:连接CG,易知△BEG、△CEG、△CFG、△DFG面积相等.而△CDE面积为1故△BEG、△CEG、△CFG、△DFG的面积均为,故而ABGD的面积为.
以上两题均是初中知识内容,但用面积法来解题起点很低,甚至连小学生都能理解,但跨度大,体现出解决问题的综合能力强.
四、总结
1.面积对于数学的决定作用造就了一题多解的知识基础
一个问题既然能够达到一题多解,这不是偶然的,而是知识间本质联系所决定的.由于数学知识的许多分支都和面积有关,因此许多分支不仅知识之间会出现相关性,这些相关的知识相互映衬、相互作用形成知识链、知识网、知识团;变,从而产生一题多解,让学习者充分体现出聪明才智.
2.面积的本质的探究为其他的数学思考提供一个范本
面积问题能够起到牵一发而动全身的作用,是数学的牛鼻子,这是面积的本质作用的体现;通过对于面积本质的研究为数学的其他思考提供一个范本.在教学中,只有把握住知识的本质才能使自己上升到居高临下看待问题的境界,从而透视数学世界以至于清澈见底.

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